Uebungen  Exercices

3. Algebraische und symbolische  
    Stärken
 Forces algébriques et symboliques

Die Gliederung dieses Kurses folgt in groben Zügen dem Buch von Nancy Blachman: A Practical Approach.... Hinweis: Kapitel 3 lesen!
 L'articulation de ce cours correspond à peu près à celle du livre de Nancy Blachman: A Practical Approach.... 
Indication: Lire le chapitre 3.

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 Testé avec Mathematica version 5.2+WIN

WIR94/98/99/2000/2007 // Copyright Rolf Wirz

Aufgabe 1    Problème 1

(a)

Löse folgende Gleichung:    Résous l'équation suivante:

Solve[x^2 + 2x + 1 == 0]

(b)

Löse folgende Gleichung:    Résous l'équation suivante:

Solve[ax^2 + bx + c == 0,x]

(c)

Löse folgende Gleichung:    Résous l'équation suivante:

Solve[{x + y== 5, 2x + 6y == 23}]

Aufgabe 2    Problème 2

(a)

Faktorisiere das Polynom 1-x^n. Entdeckst Du ein Gesetz?
  Factorise le pôlynome 1-x^n. Découvres-tu une loi?

Do[Print[1 - x^n,"==",Factor[1 - x^n]],{n, 2, 9}]

(b)

Faktorisiere das Polynom 1-x^11
  Factorise le pôlynome 1-x^11.

Factor[1 - x^11]

(c)

Faktorisiere das Polynom 1-x^...... (Zahl einsetzen!)
  Factorise le pôlynome 1-x^...... (Mettez un nombre!)

Factor[1 - x^13]

Aufgabe 3    Problème 3

(a)

Mache mit "Apart" eine Partialbruchzerlegung:
 Fais avec "Apart" une décomposition d'une fraction rationelle en éléments simples:

Apart[x/(x^2 + 5x + 6)]

(a)

Mache mit "Apart" eine Partialbruchzerlegung:
 Fais avec "Apart" une décomposition d'une fraction rationelle en éléments simples:

Apart[(2x + 7)/(x^3 + 3x^2 + 3x + 1)]

Aufgabe 4    Problème 4

(a)

Vereinfachung trigonometrischer Funktionen: Setzt Trig->True:
  Simplifications de fonctions trigonométriques: Mettez Trig->True:

Expand[Cos[x] Cos[y] + Sin[x] Sin[y],Trig->True]

Factor[Cos[x] Cos[y] + Sin[x] Sin[y],Trig->True]

(b)

Vereinfachung trigonometrischer Funktionen: Setzt Trig->True:
  Simplifications de fonctions trigonométriques: Mettez Trig->True:

Expand[Cos[x] Sin[y] + Sin[x] Cos[y],Trig->True]

Expand[Cos[x] Sin[y] + Sin[x] Cos[y],Trig->True]

(c)

Vereinfachung  von Exponentialfunktionen: Setzt Trig->True:
  Simplifications de fonctions exponentielles: Mettez Trig->True:

Expand[E^(-I x) + E^(I x),Trig->True]

Factor[E^(-I x) + E^(I x),Trig->True]

Aufgabe 5    Problème 5

(a)

Generiere mit "Array" eine 2 x 2-Matrix mit den Elementen b[i, j]:
  Génère avec "Array" une matrice 2 x 2 avec les éléments b[i, j]:

Clear[b]; m = Array[b,{2,2}]

(b)

Invertiere und Transponiere m:
  Invertis et transforme m:

Inverse[m]

Transpose[m]

(c)

Generiere mit "Array" eine 2 x 2-Matrix mit den Elementen c[i, j]:
  Génère avec "Array" une matrice 2 x 2 avec les éléments c[i, j]:

Clear[c]; n = Array[c,{2,2}]

MatrixForm[n]

(d)

Berechne  m n  und  m.n . Was ist der Unterschied?
  Calcule  m n  et m.n . Quelle est la différence?

m n

m.n

MatrixForm[m n]

MatrixForm[m.n]

Aufgabe 6    Problème 6

(a)

Integration eines Ausdrucks: 
  Intégration d'une expression:

w = 1/(x^3 + 1)

u = Integrate[1/(x^3 + 1),x]

(b)

Differenziere das Resultat:
  Différencie le résultat:

v = D[%,x]

(c)

Hat man nun wieder den ursprünglichen Ausdruck?
 A-t-on de nouveau l'expression d'origine?

Together[v]

v=ExpandAll[Together[v]]

w === v

Aufgabe 7    Problème 7

(a)

Exakter Wert eines Integrals :
  Valeur exacte d'une intégrale:

Integrate[x y^2,{x,0,1},{y,0,Sqrt[1-x]}]

(a)

Exakter Wert eines Integrals :
  Valeur exacte d'une intégrale:

Integrate[y Exp[x^2],{x,0,1},{y,0,Sqrt[x]}]

Aufgabe 8    Problème 8

(a) Potenzreihenentwicklung
   Développer des séries de puissances

Series[E^x ,{x, 0, 12}]

(b) Potenzreihenentwicklung
   Développer des séries de puissances

Series[1/(1 - x),{x, 0, 8}]

(c) Potenzreihenentwicklung
   Développer des séries de puissances

Series[1/(1 - x)^2, {x, 0, 10}]

(d) Potenzreihenentwicklung
   Développer des séries de puissances

Series[f[x], {x, 0, 10}]

Aufgabe 9    Problème 9

(a) Interessante Potenzreihenentwicklung
   Développement intéressant de séries de puissances

Series[1/(1 +  x) ,{x, 0, 7}]

(b) Interessante Potenzreihenentwicklung
   Développement intéressant de séries de puissances

Series[1/(1 - 2x),{x, 0, 8}]

(c) Interessante Potenzreihenentwicklung
   Développement intéressant de séries de puissances

(1+ 2x + 3x^2) Series[1/(1 - x^3), {x, 0, 8}]

Aufgabe 10    Problème 10

(a)

Probleme mit Integration:
  Problème d'intégration

Integrate[1/(1 + Sin[x]^2 Sqrt[Pi^2 + x]),{x,-2,2}]

(b)

Näherung durch Integration einer Potenzreihe: 
  Approximation par l'intégration d'une série de puissances:

Clear[s]; 
s = Series[1/(1 + Sin[x]^2 Sqrt[Pi^2 + x]),{x,0,8}]

Verwandlung in einen verwertbaren Ausdruck (O[...] weglassen)
  Transformation en une expression utilisable (omettre O[...])

sn = Normal[s]

Jetzt kann man integrieren:
  Maintenant on peut intégrer:

Integrate[sn,{x,-2,2}]

Numerisch:    Numériquement:

N[%]

Aufgabe 11    Problème 11

(a) Differentialgleichung   Equation différentielle    
      y’(x) - y(x) tan x = x

DSolve[y'[x] - y[x] Tan[x]== x, y[x], x]

(b) Differentialgleichung   Equation différentielle  
     y’(x) + y(x) tan x = sec(x)   (secans)

DSolve[y'[x] + y[x] Tan[x]== Sec[x], y[x], x]

(c) Differentialgleichung   Equation différentielle 
     y’(x) = y(x)  
     mit Randwertbedingung 
       avec condition de valeur au  bord
     y’(0)=1

Clear[y];
DSolve[{y'[x] == y[x] , y'[0] == 1}, y[x], x]

(d) Differentialgleichung   Equation différentielle  
      y’’’’(x) - k^4 y(x)  =  0 
      (Vibration eines Strahls  Vibration d'un rayon)

DSolve[y''''[x] - k^4 y[x] == 0, y[x], x]

(b) Differentialgleichung   Equation différentielle  
     y’(x) + y(x) tan x = sec(x)   (secans)

DSolve[y'[x] y[x] + x^2 == x, y[x], x]

"Putzmaschine" einsetzen
 Employer la "machine de nettoyage"

(* Old Form: Remove["Global`@*"] *)

Remove["Global`*"]