Lösungen

1. Programm

Programm laufen lassen

Remove["Global`*"]

\(\(volProgr[r_, α_, schritt_] := 
        Module[{}, 
h0 = 
            2  r/Cos[α]; 
xh[h_, 
              rR_, αα_] := 
            rR - h\ Cos[αα]; 
z1[x_, 
              rR_, αα_] := \(-x\)\ \ Tan[αα]\  + \ rR\ Tan[αα]; 
z2b[x_, 
              rR_, αα_] := 
            x\ \ Tan[Pi/2 - αα]\  + \ 
              rR\ Tan[αα] + b; 
solv = 
            Solve[z1[xh[h, r, α], r, α] == 
                  z2b[xh[h, r, α], r, α], {b}] // 
              Flatten; 
b = 
            b /. solv; 
z2[x_, rR_, αα_, 
              h_] = z2b[x, rR, αα] /. 
              solv; 
IntZ[x_, 
              h_] := 
Integrate[
              1, {z, z1[x, r, α], 
                z2[x, r, α, h]}
, 
              GenerateConditions -> False]; 
IntZY[x_, 
              h_] := 
Integrate[
              IntZ[x, h], {y, \(-Sqrt[r^2 - x^2]\), 
                Sqrt[r^2 - x^2]}]; 
IntZYX[
              h_] := \((Integrate[IntZY[x, h], x] /. 
                  x -> r)\) - \((Integrate[IntZY[x, h], x] /. 
                  x -> r - 
                      h\ Cos[α])\); 
Print["Plot der Kurve 'Volumen als Funktion von h' "]; 
Plot[
            Evaluate[IntZYX[h]], {h, 0, 
              h0}]; 
Print["Tabelle zur Kurve 'Volumen als Funktion von h' "]; 
Prepend[
              Table[{h, IntZYX[h] // N}, {h, 0, h0, schritt}], {h, V}] // 
            MatrixForm
];\)\)

Eingaben

r = 10;   schritt = 1;    
α = 
      30 Degree;   α//N

volProgr[r, α, schritt]

Dierekte Eingaben

Erst Programm oben laufen lassen!

volProgr[20, 36.75 Degree, 2]

2. Link

Mögliche Lösung siehe unter unter Beachtung des üblichen Passwortschutzes unter "Handouts" auf

http://rowicus.ch/Wir/Scripts/restricted/MasterIndex.html

Oder (ebenfalls Passwortschutz) unter

http://rowicus.ch/Wir/Scripts/restricted/AnwendMaterial/VivianischerKoerper.pdf

3. a) und b)

Remove["Global`*"]

Flächeninhalte

FI[f1_,f2_,x1_,x2_]:=Integrate[f1[x]-f2[x],{x,x1,x2}]

a) Beispiel 1: Zwischen -Pi/2 und +Pi/2

x1 = -Pi/2;
x2 =  Pi/2;
f1[x_]:=Cos[x]; 
f2[x_,a_]:= a x^2 - 1;
solv = Solve[f1[x2]==f2[x2,a],{a}]//Flatten

f2[x_]:= a x^2 - 1/. solv; f2[x]

Plot[{f1[x],f2[x]},{x,x1,x2}];

Print[FI[f1,f2,x1,x2]," = ",FI[f1,f2,x1,x2]//N]

b) Beispiel 1: Zwischen -Pi/2 und +Pi/2

x1 = 0;
x2 =  Pi/2;
f1[x_]:=Cos[x]; 
f2[x_,a_]:= a x^2 - 1;
solv = Solve[f1[x2]==f2[x2,a],{a}]//Flatten

f2[x_]:= a x^2 - 1/. solv; f2[x]

Plot[{f1[x],f2[x]},{x,x1,x2}];

Print[FI[f1,f2,x1,x2]," = ",FI[f1,f2,x1,x2]//N]

Statische Momente

SMx[f1_,f2_,x1_,x2_]:=Integrate[(f1[x]-f2[x])(f1[x]+f2[x])/2,{x,x1,x2}]

SMy[f1_,f2_,x1_,x2_]:=Integrate[(f1[x]-f2[x])x,{x,x1,x2}]

a) Beispiel 1: Zwischen -Pi/2 und +Pi/2

x1 = -Pi/2;
x2 =  Pi/2;
f1[x_]:=Cos[x]; 
f2[x_,a_]:= a x^2 - 1;
solv = Solve[f1[x2]==f2[x2,a],{a}]//Flatten

f2[x_]:= a x^2 - 1/. solv; f2[x]

Print[SMx[f1,f2,x1,x2]," = ",SMx[f1,f2,x1,x2]//N]

Print[SMy[f1,f2,x1,x2]," = ",SMy[f1,f2,x1,x2]//N]

b) Beispiel 2: Zwischen 0 und +Pi/2

x1 = 0;
x2 = Pi/2;
f1[x_]:=Cos[x]; 
f2[x_,a_]:= a x^2 - 1;
solv = Solve[f1[x2]==f2[x2,a],{a}]//Flatten

f2[x_]:= a x^2 - 1/. solv; f2[x]

Print[SMx[f1,f2,x1,x2]," = ",SMx[f1,f2,x1,x2]//N]

Print[SMy[f1,f2,x1,x2]," = ",SMy[f1,f2,x1,x2]//N]

Schwerpunkt

SPx[f1_,f2_,x1_,x2_]:=SMx[f1,f2,x1,x2]/FI[f1,f2,x1,x2]

SPy[f1_,f2_,x1_,x2_]:=SMy[f1,f2,x1,x2]/FI[f1,f2,x1,x2]

a) Beispiel 1: Zwischen -Pi/2 und +Pi/2

x1 = -Pi/2;
x2 =  Pi/2;
f1[x_]:=Cos[x]; 
f2[x_,a_]:= a x^2 - 1;
solv = Solve[f1[x2]==f2[x2,a],{a}]//Flatten

f2[x_]:= a x^2 - 1/. solv; f2[x]

Print[SPx[f1,f2,x1,x2]," = ",SPx[f1,f2,x1,x2]//N]

Print[SPy[f1,f2,x1,x2]," = ",SPy[f1,f2,x1,x2]//N]

b) Beispiel 2: Zwischen 0 und +Pi/2

x1 = 0;
x2 = Pi/2;
f1[x_]:=Cos[x]; 
f2[x_,a_]:= a x^2 - 1;
solv = Solve[f1[x2]==f2[x2,a],{a}]//Flatten

f2[x_]:= a x^2 - 1/. solv; f2[x]

Print[SPx[f1,f2,x1,x2]," = ",SPx[f1,f2,x1,x2]//N]

Print[SPy[f1,f2,x1,x2]," = ",SPy[f1,f2,x1,x2]//N]

Trägheitsmomente

TMx[f1_,f2_,x1_,x2_]:=Integrate[Integrate[y^2,{y,f1[x],f2[x]}],{x,x1,x2}]

TMy[f1_,f2_,x1_,x2_]:=Integrate[Integrate[x^2,{y,f1[x],f2[x]}],{x,x1,x2}]

a) Beispiel 1: Zwischen -Pi/2 und +Pi/2

x1 = -Pi/2;
x2 =  Pi/2;
f1[x_]:=Cos[x]; 
f2[x_,a_]:= a x^2 - 1;
solv = Solve[f1[x2]==f2[x2,a],{a}]//Flatten

f2[x_]:= a x^2 - 1/. solv; f2[x]

Print[TMx[f1,f2,x1,x2]," = ",TMx[f1,f2,x1,x2]//N]

Print[TMy[f1,f2,x1,x2]," = ",TMy[f1,f2,x1,x2]//N]

b) Beispiel 2: Zwischen 0 und +Pi/2

x1 = 0;
x2 = Pi/2;
f1[x_]:=Cos[x]; 
f2[x_,a_]:= a x^2 - 1;
solv = Solve[f1[x2]==f2[x2,a],{a}]//Flatten

f2[x_]:= a x^2 - 1/. solv; f2[x]

Print[SPx[f1,f2,x1,x2]," = ",SPx[f1,f2,x1,x2]//N]

Print[SPy[f1,f2,x1,x2]," = ",SPy[f1,f2,x1,x2]//N]

3. c)

Eigenes Projekt. Somit keine Standardlösung!