Lösungen

1.

Literaturstudium

Handout

2. Biegelinie eines einseitig horizontal eingespannten Trägers mit vertikaler Punktlast

a    Definitionen, Vorbereitungen:

Balken- oder Trägerlänge xL = 5 m; 
Balken, Rechtecksquerschnitt: Breite b = 5/100 m; Höhe h = 1/10 m; 
Axiales Flächenträgheitsmoment Iy = b h^3/12 (Masse übernommen); 
Esastizitätsmodul eE=210000 *1/(1/1000^2) N/ (m^2); 
Kraft F=10^3 N;

Remove["Global`*"]

a.    Approximierte die Differentialgleichung, exakte Lösung der Approximation der Differentialgleichung

xL=5; b=5/100; h=1/10; Iy=b h^3/12; eE=210000 *1/(1/1000^2); F=10^3;  eE

M[x_]:= F (xL-x);
y''[x] == -M[x]/(eE Iy)

solv = DSolve[{y''[x] == -M[x]/(eE Iy),y[0]==0,y'[0]==0},y,x]

k1=Plot[y[x]/.solv,{x,0,5}];

Endwert in Metern:

Endwert1 = (y[x]/.solv)/.x->5.

Globaler Funktionsverlauf

p1=Plot[y[x]/.solv,{x,-0,5},PlotStyle->{Thickness[.02]},DisplayFunction->Identity];

p2=Plot[y[x]/.solv,{x,-5,20},DisplayFunction->Identity];

Show[p1,p2,DisplayFunction->$DisplayFunction];

b. Exakte Differentialgleichung, numerische Lösung. 
    (Exakt zu schwierig zu lösen)

(* Remove["Global`*"] *)
Remove[x,y]

solution=NDSolve[{Derivative[2][y][x]+M[
                          x]/(eE Iy) (1 + (y'[x])^2)^(3/
                            2)==0,y[0] == 0,y'[0]==0},y,{x, 0, 5}];
k2 = 
        Plot[y[x] /. solution, {x, 0, 5}];

Show[k1,k2];

Endwert2 = (y[x]/.solution)/.x->5.

Abweichung1 = Endwert1 - Endwert2

Abweichung1InProzentVonEndwert1 = Abs[Abweichung1/ Endwert2 100]

c. Vergleich der Graphen bei xL = 34

Remove[x,y]

xL = 34; 
solv = DSolve[{y''[x] == -M[x]/(eE Iy),y[0]==0,y'[0]==0},y,x]

k1=Plot[y[x]/.solv,{x,0,34},PlotStyle->{Thickness[.015]}];

Remove[x,y]

solution=NDSolve[{Derivative[2][y][x]+M[
                          x]/(eE Iy) (1 + (y'[x])^2)^(3/
                            2)==0,y[0] == 0,y'[0]==0},y,{x, 0, 34}];
k2 = 
        Plot[y[x] /. solution, {x, 0, 34}];

Show[k1,k2];

FAZIT: Interessant ist die Grösse der ungünstigen Abweichung zwischen der exakten Lösung im Näherungsmodell und der numerischen Lösung im exakten Modell! Wer hätte das gedacht, da ja in der Praxis meist mit dem Näherungsmodell gearbeitet wird!

3.  Biegelinie eines einseitig horizontal eingespannten Trägers mit vertikaler konstanter Streckenlast

(* Remove["Global`*"] *)
Remove[x,y]

a. Approximierte Differentialgleichung, exakte Lösung

xL = 5; 
M[x_]:= Evaluate[Integrate[F (xL-s)/xL,{s,u,xL}]/.u->x];
M[x]

Plot[M[x],{x,0,5}];

solv = DSolve[{y''[x] == -M[x]/(eE Iy),y[0]==0,y'[0]==0},y,x]

k3=Plot[y[x]/.solv,{x,0,5}];

Endwert in Metern:

Endwert3 = (y[x]/.solv)/.x->5.

b. Exakte Differentialgleichung, numerische Lösung.
    (Exakt zu schwierig zu lösen)

(* Remove["Global`*"] *)
Remove[x,y]

solution=NDSolve[{Derivative[2][y][x]+M[
                          x]/(eE Iy) (1 + (y'[x])^2)^(3/
                            2)==0,y[0] == 0,y'[0]==0},y,{x, 0, 5}];
k4 = 
        Plot[y[x] /. solution, {x, 0, 5}];

Show[k3,k4];

Endwert4 = (y[x]/.solution)/.x->5.

Abweichung2 = Endwert3 - Endwert4

Abweichung2InProzentVonEndwert3 = Abs[Abweichung2/ Endwert4 100]

c. Vergleich

Abweichung2-Abweichung1

Abweichung1InProzentVonEndwert1-Abweichung2InProzentVonEndwert3

c. Vergleich der Graphen

Remove[x,y,solv]

xL = 34; 
solv = DSolve[{y''[x] == -M[x]/(eE Iy),y[0]==0,y'[0]==0},y,x]

k3=Plot[y[x]/.solv,{x,0,34},PlotStyle->{Thickness[.015]}];

Remove[x,y,solution]

solution=NDSolve[{Derivative[2][y][x]+M[
                          x]/(eE Iy) (1 + (y'[x])^2)^(3/
                            2)==0,y[0] == 0,y'[0]==0},y,{x, 0, 34}];
k4 = 
        Plot[y[x] /. solution, {x, 0, 34}];

Show[k3,k4];

FAZIT: Interessant ist wieder die Grösse der ungünstigen Abweichung zwischen der exakten Lösung im Näherungsmodell und der numerischen Lösung im exakten Modell! Wer hätte das gedacht, da ja in der Praxis meist mit dem Näherungsmodell gearbeitet wird!

4 Lastkombinationen nach eigenen Modellen

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