Lösungen

1

a

Integrate[(x^3-2x^2) Log[x],x]

b

Integrate[a/((x+1)(x+3)),{x,0,1}]

Solve[(1/2) a Log[(3/2)] == 1, {a}]

N[%]

c

Integrate[(x+2)x(x-3)+c x,{x,-2,3}]

Solve[-(125/12) + ((5 c)/2) == 0, {c}]

N[%]

d

Integrate[Cos[x] E^Sin[x]-1/(2 Sqrt[x]),{x,1,3}]

N[%]

D[E^(Sin[x])-Sqrt[x],x]

Plot3D[2+x(x-2)(x+4)-(y^2-1),{x,-5,5},{y,-5,5}];

2

Remove["Global`*"]

Normal[Series[E^(t^2)-1,{t,0,10}]]

Integrate[Normal[Series[E^(t^2)-1,{t,0,10}]],{t,0,x}]

3

Remove["Global`*"]

Solve[(8/9)^3 x==1,{x}]

N[%]

|x| < 1.42383

4

Remove["Global`*"]

a

Tangentensteigung in diese Richtung

b

Vektor in Richtung der grössten Steigung, Betrag = grösste Steigung.

c

f[x_,y_]:=2+x(x-2)(x+4)-(y^2-1);
OP0={1,2}; OQ0={4,-4};
e=(OQ0-OP0) 1/Norm[OQ0-OP0]

N[%]

f[x,y]//Expand

grad[f_]:={D[f,x],D[f,y]};
grad[f[x,y]]

%//ExpandAll

grad[f[x,y]].e /.{x->1,y->2}

N[%]

d

Solve[grad[f[x,y]]=={0,0},{x,y}]

N[%]

Plot3D[f[x,y],{x,-2,4},{y,-2,2}];

Kein Minimum, Maximum und Sattel.
In y-Richtung Parabel nach oben geöffnet, also mit Maximum.
In x-Richtung Parabel 3. Ordnung mit Maximum uns Minimum

Plot3D[f[x,y],{x,-6,8},{y,-6,6},ViewPoint->{-0.155, -3.096, -0.202},AspectRatio->2];

5

Remove["Global`*"]

a

DSolve[{y''[x] +y[x]==0,y[0]==2,y'[0]==1},y[x],x]

b

DSolve[y'[x] (x+3) == (x)/((y[x])^3),y[x],x]

N[%]

Nur reelle Lösungen nehmen

6

Remove["Global`*"]

a

f[x_]:=8-x^3; a=0; b=2;

Iy = Integrate[x^2 f[x],{x,a,b}]

N[%]

b

Ix = 1/3 Integrate[f[x]^3,{x,a,b}]

N[%]

c

Ip=Iy+Ix

N[%]

d

Das Trägheitsmoment I ist die Entsprechung der Masse bei der Drehbewegung, wo die kinetische Energie gleich 1/2 mal Winklegeschwindigkeit im Quadrat mal Trägheitsmoment ist. 
Man berechnet I als Integral über  r (Abstand eines Masseelementes) im Quadrat mal dm. Es ist also die Summe der Momente r mal (r dm).

7

Remove["Global`*"]

f[x_]:=E^(-x); a=0; b=5;
Plot[f[x],{x,a,b}];

a

Integrate[Evaluate[Sqrt[1+D[f[x],x]^2]],{x,a,b}]

NIntegrate[Evaluate[Sqrt[1+D[f[x],x]^2]],{x,a,b}]

Vergleich: Diagonallänge Rechteck um Anfangs- und Endpunkt:

Sqrt[5^2+1^2]//N

b

2 Pi Integrate[Evaluate[f[x] Sqrt[1+D[f[x],x]^2]],{x,a,b}]

2 Pi NIntegrate[Evaluate[f[x] Sqrt[1+D[f[x],x]^2]],{x,a,b}]

c

Pi Integrate[f[x]^2,{x,a,b}]

N[%]

Pi NIntegrate[f[x]^2,{x,a,b}]

d

Nein. Die im Kurs in solchen Fällen erhaltene Biegelinen werden durch einfache Polynome beschrieben. Hier ist eine Exponentialfunktion gegeben.

8

Remove["Global`*"]

a

m=1; t1=1;
a[t_]:= Cos[t];
v[t_]:= Integrate[a[tt],{tt,0,t}];
v[t]

v[t1]

N[%]

p[t1] = m v[t1]

N[%]

b

Impuls ist Masse mal Geschwindigkeit (bei vielen massen wird das Produkt aufsummiert resp. integriert).
Die Kraft ist die Ableitung des Impulses nach der Zeit bei konstanter Masse.

c

s[t_]:= Integrate[v[tt],{tt,0,t}];
s[t]

s[t1]

N[%]

d

Solve[s[t] == sI,{t}]

Integrate[m a[ArcCos[1-sI]],{sI,0,s1}]

(%/.s1->s[t1])//Simplify

Oder

W[t_]:= 1/2 m v[t]^2;
W[t1]

N[%]

9

Remove["Global`*"]

<<Graphics`PlotField`

PlotVectorField[{1,(y-2x+1)/(y-1)},{x,0,3},{y,0,3},
Epilog->
{Hue[1],Line[{{0,0},{3,0}}],Line[{{0,0},{0,3}}]},
AspectRatio->Automatic];

PlotVectorField[{1,(y-2x+1)/(y-1)},{x,-1,3},{y,-1,3},
Epilog->
{Hue[1],Line[{{-1,0},{3,0}}],Line[{{0,-1},{0,3}}]},
AspectRatio->Automatic];