Lösungen

Remove["Global`*"]

1

x1 = {3, -2};  
    x2 = {1, 6};  λ1 = 20;  λ2 = 
      30;
X = Transpose[{x1, x2}];  X // MatrixForm

mD = {{λ1, 0}, {0, λ2}}

a

Eigensystem[X]

Eigenvalues[X]

Ganzzahlig.

b

Zwei Fixgeraden durch den Ursprung, Richtung der Eigenvektoren. Keine Fixpunktgerade, da λ ungleich 1.

c

A = X . mD . Inverse[X];  A // MatrixForm

B = {{21, 6}, {3/2, 29}};  B // MatrixForm

A und B sind zueinander transponiert.

d

Eigensystem[A]

Die Eigenwerte sind λ1 und λ2, X ist (x1,x2) von oben.

Eigensystem[mD]

Die Eigenwerte von D sind ebenfalls sind λ1 und λ2,die Eigenvektoren von D sind die Einheitsvektoren.

e

Det[A -  λ  IdentityMatrix[2]]

Det[mD -  λ  IdentityMatrix[2]]

Die charakteristischen Polynome stimmen überein.

f

Tr[A]

Tr[mD]

Det[A]

Det[mD]

OP1 = {5, -3};
OQ = A . OP1

N[%]

f

Eigenvalues[B]

Eigenvalues[B] == Eigenvalues[A]

2

Remove["Global`*"]

b

Dm[φ_] := {{Cos[φ], -Sin[φ]}, {Sin[φ], Cos[φ]}};
Dm[φ] // MatrixForm

Dm[62 Degree] // N // MatrixForm

OP[1] = {0, 0};   OP[2] = {2, 0};   OP[3] = {3, 2};

OQ[k_] := Dm[62 Degree] . OP[k];
OQ[1] // N

OQ[2] // N

OQ[3] // N

3

Remove["Global`*"]

a

x1 = {2, 3};  
    x2 = {-3, 2};  λ1 = 
      1;  λ2 = -1;
X = Transpose[{x1, x2}];  X // MatrixForm

mD = {{λ1, 0}, {0, λ2}}

Sg = X . mD . Inverse[X];  Sg // MatrixForm

Sg // N // MatrixForm

a 2. Anderes Vorgehen:

Sg1 = {{Cos[2 α], 
          Sin[2 α]}, {Sin[2 α], -Cos[2 α]}};  
    Sg1 // MatrixForm

α  =  ArcTan[3/2]

αDegree  =  ArcTan[3/2] /Degree  // N

Sg1 // MatrixForm

Sg1 // N // MatrixForm

b

OP = {7, -2};
OQ = Sg . OP

N[%]

4

Remove["Global`*"]

a = {2, -1, 1};  b = {1, 2, -3};  
    u = {1, 1, -1};

a

Det[{a, b, u}]

==> l.u.

b

Ovec={0,0,0};
P.Transpose[{a,b,u}]==Transpose[{a,b,Ovec}] ==> P==...

o = {0, 0, 0};
P . Transpose[{a, b, u}] == Transpose[{a, b, o}]

P = Transpose[{a, b, o}] . Inverse[Transpose[{a, b, u}]];  
    P // MatrixForm

P // N // MatrixForm

c

P . {100, 100, 100}

N[%]

5

Remove["Global`*"]

a

a = {1, 1, -2};
b1 = a/Norm[a]

{1, y1, 0} . a == 0

Solve[{1, y1, 0} . a == 0, {y1}]

b2work = {1, -1, 0}

b2 = b2work/Norm[b2work]

b2 // N

b3 = Cross[b1, b2]

b3 // N

U = Transpose[{b1, b2, b3}];  U // MatrixForm

Dreh0[φ_] := {{1, 0, 0}, {0, 
          Cos[φ], -Sin[φ]}, {0, Sin[φ], 
          Cos[φ]}};  Dreh0[φ] // MatrixForm

DrehAchse[φ_] := 
      U . Dreh0[φ] . Inverse[U]

Dreh = DrehAchse[36 Degree] // N;  Dreh // MatrixForm

b

T1 = {5, 4, 6};

R1 = Dreh . T1

c Bei einer Drehung um den negativen Winkel:

Dreh = DrehAchse[-36 Degree] // N;  Dreh // MatrixForm

R1 = Dreh . T1

6

Remove["Global`*"]

OP = {10, 10};
x[0] = OP;
mD = {{Cos[Pi/7], -Sin[Pi/7]}, {Sin[Pi/7], Cos[Pi/7]}};   mD // 
      MatrixForm

mD // N // MatrixForm

y[n_] := mD . x[n];
S = {{3/4, 0}, {0, 3/4}};  S // MatrixForm

S // N // MatrixForm

x[n_] := S . y[n - 1] // N;
Table[x[n], {n, 0, 5}]

tab1 = Table[x[n], {n, 0, 20}]

pretab = Prepend[Map[Point, tab1], PointSize[0.03]]

lin = {Line[{{-1, 0}, {1, 0}}], 
        Line[{{0, -1}, {0, 1}}]}

Show[Graphics[Join[pretab, lin]], 
        AspectRatio -> Automatic];

Es ergibt sich eine Punktspierale, die gegen den Ursprung konvergiert.