Lösungen

1

Remove["Global`*"]

EVNorm[Matrix_]:=Transpose[Table[N[Transpose[Matrix][[k]]/Norm[Transpose[Matrix][[k]]]],{k,1,Length[Transpose[Matrix]]}]]

X={{0,1,-2,1},{1,2,0,1},{1,1,3,0},{-2,0,4,1}};
Dl={{1,0,0,0},{0,1,0,0},{0,0,-1,0},{0,0,0,-1}};
M=X.Dl.Inverse[X];
MatrixForm[M]

(* MatrixForm[M]//TeXForm *)

h1=Transpose[X][[1]]; h2=Transpose[X][[2]]; h3=Transpose[X][[3]]; h4=Transpose[X][[4]];

{h1,h2,h3,h4}

X//MatrixForm

Det[X]

v1={-4,0,-3,5}; v2={-3,4,0,2};  v3={1,2,-4,0}; v4={-1,2,3,1}; Vmatr={v1,v2,v3,v4};

Det[Vmatr]

a

Eigenvalues[M]

b Eigenvektoren zu doppelten Eigenwerten nicht eindeutig

Eigenvectors[M]//Transpose//MatrixForm

EVNorm[Eigenvectors[M]//Transpose]//MatrixForm

EV=Eigenvectors[M]; ev1=EV[[1]];  ev2=EV[[2]];  ev3=EV[[3]];  ev4=EV[[4]]; 
{ev1,ev2,ev3,ev4}

{h1,h2,h3,h4}

Solve[x1 ev3 + x2 ev4==h1,{x1,x2}]

Solve[x1 ev3 + x2 ev4==h2,{x1,x2}]

Solve[x1 ev1 + x2 ev2==h3,{x1,x2}]

Solve[x1 ev1 + x2 ev2==h4,{x1,x2}]

c

Inverse[M]//MatrixForm

M==Inverse[M]

Eigenvalues[Inverse[M]]

d Eigenvektoren zu doppelten Eigenwerten nicht eindeutig

Eigenvectors[Inverse[M]]//Transpose//MatrixForm

EVNorm[Eigenvectors[Inverse[M]]//Transpose]//MatrixForm

e

Eigenvalues[Transpose[M]]

f

Eigenvectors[Transpose[M]]//Transpose//MatrixForm

EVNorm[Eigenvectors[Transpose[M]]//Transpose]//MatrixForm

g

W=Transpose[Vmatr]; w//MatrixForm

VolW=Det[W]

h

Det[M]

VolMW=Det[M.W]

VolMW/VolW

2

a

X={v1,v2,v3,v4}//Transpose; X//MatrixForm

Dλ={{1,0,0,0},{0,-1,0,0},{0,0,-2,0},{0,0,0,2}};  Dλ//MatrixForm

A=X.Dλ.Inverse[X];  A//MatrixForm

N[%]//MatrixForm

74 A//MatrixForm

b

OQStrich=A.(v1+v2+v3+v4)

c

OQStrichStrich=(A+Transpose[A]).OQStrich

N[%]

3

Remove["Global`*"]

a

a={1,-1,-2}; b={2,1,-4}; c={1,1,1};

X=Transpose[{a,b,c}]; X//MatrixForm

Dλ={{1,0,0},{0,1,0},{0,0,-1}}; Dλ//MatrixForm

B=X.Dλ.Inverse[X];  B//MatrixForm

N[%]//MatrixForm

3  B//MatrixForm

b

B.{2,4,5}

c

Dλ^100

Bhoch100=X.(Dλ^100).Inverse[X]; Bhoch100//MatrixForm

Bhoch100==IdentityMatrix[3]

4

(U (W^(-1))) (((U (W^(-1))))^(-1)) (-X)  (U^T) + E = ((((((((((W^(-1))))^T)  (U^T)))^(-1))))^T)   ==>   (U (W^(-1))) (((U (W^(-1))))^(-1)) = E  oder
==>     U (W^(-1))  W  (U^(-1)) (-X)  (U^T) + E = (((((((((U  (W^(-1))))^T)))^(-1))))^T)   = (((((((((U  (W^(-1))))^T)))^T)))^(-1))  = (((U  (W^(-1))))^(-1)) = W  (U^(-1))
==>                             (-X)  (U^T) = W  (U^(-1)) - E
==>                             (-X)       = W  (U^(-1)) ((((U^T)))^(-1)) -((((U^T)))^(-1)) = W   ((((U^T) U))^(-1)) -((((U^T)))^(-1))
==>                                   X        = - W   ((((U^T) U))^(-1)) +((((U^T)))^(-1))= (- W  (U^(-1)) + E)((((U^T)))^(-1))

U={{-37,32},{20,-19}}; W={{57,-5},{32,-28}};
{U//MatrixForm, W//MatrixForm}

X=(-W.Inverse[U]+IdentityMatrix[2]).Inverse[Transpose[U]]

X//MatrixForm

N[%]//MatrixForm

5

Remove["Global`*"]

a

OP1={0,1,1};  OP2={1,0,-1};  OP3={2,1,0};  
OP4={2,6,1};  OP5={-1,5,8};  OP6={-2,12,0};

G1={OP1,OP2,OP3}//Transpose;
G2={OP4,OP5,OP6}//Transpose;
Det[G1]

Det[G2]

G.G1==G2

G=G2.Inverse[G1];  G//MatrixForm

b

Dreh[ϕ_]:={{Cos[ϕ],-Sin[ϕ],0},{Sin[ϕ],Cos[ϕ],0},{0,0,1}}; Dreh[ϕ]//MatrixForm

Dreh[30 Degree]//MatrixForm

Dreh[30 Degree]//N//MatrixForm

c

OP7=Dreh[30 Degree].OP1

Dreh[30 Degree].OP1//N

d

G.OP7//MatrixForm

G.OP7//N//MatrixForm

6

Remove["Global`*"]

a

Hmatrix={{0,-2,1},{1,0,-1},{2,2,0}}; Det[Hmatrix]

Smatrix=Hmatrix+Transpose[Hmatrix]; Smatrix//MatrixForm

Symmetrische Matrix

b

Det[Smatrix]

Eigenvalues[Hmatrix]

Eigenvalues[Hmatrix]//N

Inverse[Hmatrix]//MatrixForm

N[%]//MatrixForm

Eigenvalues[Smatrix]//Simplify

Eigenvalues[Smatrix]//N

Det[Smatrix-x IdentityMatrix[3]]

Solve[Det[Smatrix-x IdentityMatrix[3]]==0,{x}]//Simplify

N[%]

c

a1={1,1,1};
Hmatrix.a1

Transpose[Hmatrix].a1

Smatrix.a1

(Hmatrix+Transpose[Hmatrix]).a1

N[%]

d

A=Hmatrix+Inverse[Hmatrix]; A//MatrixForm

N[%]//MatrixForm

A.a1

7

Remove["Global`*"]

a={-2,2,1};  OQ={-1,0,4};

Matrixkonstruktion : Lokale Basis

(* Normiert einen Vektor *)
NVec[a_]:=a/Norm[a];  
(* Quadriert Komponenten eines Vektors *)
QVec[a_]:=Table[a[[k]]^2,{k,1,Length[a]}];
(* Numeriert Komponenten eines Vektors *)
QVecNr[a_]:=Table[{k,a[[k]]^2},{k,1,Length[a]}];
(* Sucht die Nummer einer absolut maximal grossen Komponente *)
NrMaxQVec[a_]:=Max[Table[If[a[[k]]^2==Max[QVec[a]],k,0],{k,1,Length[a]}]];
(* Sucht die Nummer einer absolut minimal grossen Komponente *)
NrMinQVec[a_]:=Min[Table[If[a[[k]]^2==Min[QVec[a]],k,Length[a]+1],{k,1,Length[a]}]];
b[a_,x_]:=Table[ If[k==NrMaxQVec[a],1, If[k==NrMinQVec[a],0,x ] ]
   ,{k,1,Length[a]}];
solv=Solve[b[a,x].a==0,{x}]//Flatten;
b[a_]:=b[a,x]/.solv
e1={1,0,0};e2={0,1,0};e3={0,0,1}; 
 If[Element[NVec[a],Union[{e1,e2,e3},-{e1,e2,e3}]],b[a_]:=Cross[e1+e2+e3,NVec[a]],b[a]=b[a]];
basis[a_]:={NVec[a],NVec[b[a]],Cross[NVec[a],NVec[b[a]]]};
TrBasis[a_]:=basis[a]//Transpose;
aVec1=NVec[a]; aVec2=NVec[b[a]];
aVec3=Cross[NVec[a],NVec[b[a]]];

Kontrolle

basis[a]

Cross[a,basis[a][[1]]]

basis[a][[1]].basis[a][[2]]

basis[a][[1]].basis[a][[3]]

basis[a][[2]].basis[a][[3]]

basis[a][[1]]//Norm

basis[a][[2]]//Norm

basis[a][[3]]//Norm

TrBasis[a].e1==aVec1

TrBasis[a].e2==aVec2

TrBasis[a].e3==aVec3

Matrixzusammensetzung

Print[Inverse[TrBasis[a]]//MatrixForm];
mDrehung[ϕ_]:={{1,0,0},{0,Cos[ϕ],-Sin[ϕ]},{0,Sin[ϕ],Cos[ϕ]}};
mDrehung[Pi/8];
Print[mDrehung[Pi/8]//MatrixForm];
matrix[ϕ_]:=TrBasis[a].mDrehung[ϕ].Inverse[TrBasis[a]];
Print[matrix[Pi/8]//MatrixForm];
Print[matrix[Pi/8]//N//MatrixForm];

Drehung

OQStrich= matrix[Pi/8].OQ

OQStrich//N

p1=ParametricPlot3D[matrix[ϕ].OQ,{ϕ,0,2Pi}];

p2=ParametricPlot3D[ϕ aVec1,{ϕ,0,2Pi}];

p3=Graphics3D[{Sphere[OQ,0.2],Sphere[OQStrich,0.2]}];
Show[p1,p2,p3]